En mathématiques, l'espace dual d'un espace vectoriel E est l'ensemble des formes linéaires sur E.

La structure d'un espace et celle de son dual sont très liées. La fin de cet article présente quelques résultats sur les liens entre espace dual et hyperplans, ce qui permet une compréhension « géométrique » de certaines propriétés des formes linéaires.

Le dual topologique est une variante très considérée en analyse fonctionnelle, lorsque l'espace vectoriel est muni d'une structure additionnelle d'espace vectoriel topologique.

Sommaire:
1. Définitions
2. Dualité en dimension finie
3. Orthogonal
4. Représentation des sous-espaces
5. Voir aussi

1. Définitions

Article détaillé : Forme linéaire.

Soient (K,+, \times) un corps, E un K-espace vectoriel

On appelle forme linéaire sur E toute application linéaire de E vers K, c'est-à-dire toute application \phi : E \to K telle que

\forall (x,y) \in E^2,\ \forall \lambda \in \mathbb{K},\ \phi(\lambda x + y) = \lambda \phi(x) + \phi(y).

L'ensemble \mathcal{L}(E,K) des formes linéaires sur E est un K-espace vectoriel, dit espace dual de E ; il est noté E^*.

Si \phi est un élément de E^* et x un élément de E, on écrit parfois \langle\phi,x\rangle pour \phi(x). Cette notation est dite crochet de dualité.

1. 1. Exemples

1. 1. 1. Cas d'un espace préhilbertien

Si l'espace vectoriel E est un espace préhilbertien réel, c'est-à-dire muni d'un produit scalaire \langle \cdot \rangle, on a un moyen naturel de « plonger » E dans E^*, c'est-à-dire d'associer à chaque élément de E un élément du dual, et ce de manière à former un isomorphisme entre E et un sous-espace de E^* : à chaque élément x de E on associe la forme linéaire \phi_x : E \to K;\ y \mapsto \langle x,y\rangle. Alors l'application f : E \to E^*;\ x \mapsto \phi_x est une application linéaire injective, donc l'espace E est isomorphe au sous-espace f(E) de E^*.